Question

14．已知f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）求證：f（x）是定義域內的增函數；
（2）當x∈[0，1]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求導，根據在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R上的增函數；
（2）由（1）可得當x∈[0，1]時，f（x）為增函數，求出函數的最值，可得函數的值域．

解答 證明：（1）∵f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
∴f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{{（2}^{x}+1）^{2}}$．
在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）是定義域R上的增函數-------（8分）    
解：（2）由（1）可得當x∈[0，1]時，f（x）為增函數，
故當x=0時，f（x）取最小值0，
當x=1時，f（x）取最大值$\frac{1}{3}$，
即當x∈[0，1]時，求f（x）值域為[0，$\frac{1}{3}$]-------（12分）

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數的最值，函數的值域，難度中檔．