Question

20．已知二次函數f（x）=x²+2ax+2b有兩個零點x₁，x₂，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，則直線bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范圍是（　　）

• A． $（-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}）$
• B． $（-\frac{2}{5}，\frac{3}{2}）$
• C． $（-\frac{2}{5}，\frac{1}{2}）$
• D． $（-∞，-\frac{2}{5}）∪（\frac{2}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 根據根的分布建立不等關系，畫出滿足條件的區域，明確目標函數的幾何意義，即可求得結論．

解答 解：二次函數f（x）=x²+2ax+2b有兩個零點x₁，x₂，
且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，
則x₁，x₂是函數g（x）的兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-8b＞0}\\{f（-1）=1-2a+2b＞0}\\{f（1）=1+2a+2b＜0}\\{f（2）=4+4a+2b＞0}\end{array}\right.$，其中△＞0可以去掉．
畫出可行域：平面三角形ABC的內部的所有點．
A（0，-$\frac{1}{2}$），B（-$\frac{3}{2}$，1），C（-$\frac{1}{2}$，-1）．
直線bx-（a-1）y+3=0的斜率k=$\frac{a-1}$，
表示經過兩點（a，b），P（1，0）的直線的斜率．
k_PC=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，k_PB=$\frac{1}{-\frac{3}{2}-1}$=-$\frac{2}{5}$．
∴-$\frac{2}{5}$＜k＜$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查解不等式、線性規劃、二次函數的性質，考查了轉化能力與計算能力，屬于中檔題．