Question

5．設函數$f（x）=mlnx+\frac{n}{x}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）求實數m，n的值；
（2）若b＞a＞1，$A=f（\frac{a+b}{2}）$，$B=\frac{bf（b）-af（a）}{b-a}-1$，試判斷A，B兩者是否有確定的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，根據導函數的意義和切線方程的概念求出參數m，n的值即可；
（2）利用作差的方法：A，B關系易判斷；構造函數，通過導函數判斷函數的單調性，進而得出結論．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{n}{{x}^{2}}$，
由于 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）=n=0}\\{f′（1）=m-n=1}\end{array}\right.$，
所以m=1，n=0．
（2）判斷A＞B．
∵$A-B=ln\frac{a+b}{2}-$$（{\frac{bf（b）-af（a）}{b-a}-1}）$=$\frac{1}{b-a}[{（{b-a}）ln\frac{a+b}{2}-blnb+alna+b-a}]$
設函數$g（x）=（{x-a}）ln\frac{x+a}{2}-xlnx+alna+x-a$，x∈（0，+∞）
則$g'（x）=ln\frac{x+a}{2x}+\frac{x-a}{x+a}$，$g''（x）=\frac{{a（{x-a}）}}{{x{{（{x+a}）}^2}}}$，
當x＞a時，$g''（x）=\frac{{a（{x-a}）}}{{x{{（{x+a}）}^2}}}＞0，所以g'（x）在（{a，+∞}）單調遞增$．
又g'（x）＞g'（a）=0，因此g（x）在（a，+∞）單調遞增
又b＞a，所以g（b）＞g（a）=0，即A-B＞0，故A＞B．

點評 本題主要考查了函數的構造和利用導函數判斷函數的單調性，難點是對題意的轉化和函數的構造．