Question

13．已知函數$y=3（sin2xcos\frac{π}{6}-cos2xsin\frac{π}{6}）$．
（1）求該函數的最小正周期；
（2）求該函數的單調遞減區間；
（3）用“五點法”作出該函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖．

Answer 1

分析 （1）由已知利用兩角差的正弦函數公式可得y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，可得函數的單調遞減區間．
（3）根據五點法作圖的方法先取值，然后描點即可得到圖象．

解答 解：（1）∵$y=3（sin2xcos\frac{π}{6}-cos2xsin\frac{π}{6}）$=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函數的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴函數的單調遞減區間為：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z，
（3）列表：

x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
2x-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	3	0	-3	0

描點、連線如圖所示：

點評 本題主要考查三角函數的圖象的作法，考查了正弦函數的單調性，利用五點法是解決三角函數圖象的基本方法．