Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，$AB=BC=CA=\sqrt{3}$，$A{A_1}=2\sqrt{2}$，則該三棱柱外接球的表面積等于12π．

Answer 1

分析 由題意推出三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．

解答 解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為$\sqrt{3}$，高為2$\sqrt{2}$，
由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，表面積為：4πr²．
球心到底面的距離為$\sqrt{2}$，
底面中心到底面三角形的頂點的距離為：$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=1，
所以球的半徑為r=$\sqrt{2+1}$．
外接球的表面積為：4πr²=12π，
故答案為：12π．

點評 本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數學題目的前提．