Question

9．已知函數$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$，x∈[-2015，2015]的最大值與最小值分別為A和B，則A+B=2．

Answer 1

分析 由$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$+1，構造函數g（x）=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$，根據函數的奇偶性即可求出答案．

解答 解：$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$+1，
設g（x）=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$，
則g（-x）=-$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$=-g（x），
∴g（x）為奇函數，
∵x∈[-2015，2015]，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∴A=f（x）_max=g（x）_max+1，B=f（x）_min=g（x）_min+1，
∴A+B=2，
故答案為：2

點評 本題考查了函數奇偶性的性質，函數的最值的關系，屬于中檔題．