Question

20．已知f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$，若對于區間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，則實數m的取值范圍是（-∞，-$\frac{9}{8}$）．

Answer 1

分析 由題意可得對區間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，令h（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x ，利用單調性求得h（x）的最小值，可得實數m的取值范圍．

解答 解：f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}（1+\frac{2}{x-1}）$，∵由于$\frac{2}{x-1}$在 區間（1，+∞）內單調遞減，故f（x）在[3，4]上單調遞增，
則對區間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立．
令h（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x ，則得h（x）在[3，4]上單調遞增，
故h（x）的最小值為h（3）=-1-$\frac{1}{8}$=-$\frac{9}{8}$，∴m＜-$\frac{9}{8}$，
故答案為：$（-∞，-\frac{9}{8}）$．

點評 本題主要考查函數的奇偶性和單調性，汗水肚餓恒成立問題，求函數的值域，屬于中檔題．