Question

14．設數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}-1}）$．
（1）求證數列{a_n}是等比數列并求通項公式a_n；
（2）設b_n=2n-1，c_n=a_n•b_n，T_n為{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系與等比數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=2n-1，c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}-1}）$，∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}$（a₁-1），解得a₁=3．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}（{{a_n}-1}）$-$\frac{3}{2}（{a}_{n-1}-1）$，
∴a_n+1=3a_n．
故數列{a_n}是公比為3的等比數列．
∴${a_n}={3^n}$．
（2）b_n=2n-1，c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．
∴數列{c_n}的前n項和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
∴3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3^nz+（2n-1）•3ⁿ⁺¹．
∴-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=$2×\frac{3×（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹．
∴T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了數列遞推關系、“錯位相減法”與等比數列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．