【題目】如圖1，在平面四邊形
中，
，現將
沿四邊形的對角線
折起，使點
運動到點
，如圖2，這時平面
平面
.
（1）求直線
與平面所成角的正切值；
（2）求二面角
的正切值.
【答案】（1）
；（2）2.
【解析】
解法一：（幾何方法）
（1）過
向
做垂線，垂足為
，連接
，通過線面垂直的證明得到
在平面
內射影為，再根據長度關系計算出
的值即為直線與平面所成角的正切值；
（2）利用中點
，過點做
，垂足為
，連接
，通過證明得到二面角的平面角為
，再計算出
的值即為二面角的正切值；
解法二：（向量方法）
（1）建立合適的空間直角坐標系，求解出平面的法向量并計算出線面角的正弦，由此可計算出線面角的正切值；
（2）計算出平面
的法向量和平面
的法向量，根據兩個向量的余弦值計算出二面角的余弦值，即可求解出二面角的正切值.
解法一：（1）
，
，
，
，
為正三角形，
過點向做垂線，垂足為，連接，
平面
平面，為交線，
平面，
為在平面內射影，
就是直線與平面所成角，
在直角三角形
中，
，
，
，
，
，
設為中點，連接
，易知
，
且為
中點，
在直角三角形
中，
，
，
，
又
平面，且
平面，
，
，
直線與平面所成角的正切值為.
（2）平面平面，為交線，且，
平面，
過點做，垂足為，連接，
，
，
平面
，
，
就是二面角
的平面角，
在直角三角形中，，
，
，
二面角的正切值為2.
解法二：
為正三角形，
設為中點，則
，
在平面
內，過點作垂直于的直線
.
平面平面，
以為坐標原點，
為
軸，
為
軸，直線為
軸，建立如圖所示空間直角坐標系.
由平面幾何知識，易得，
，
，
（1）
又
軸
平面，
可取
為平面的法向量.
設直線與平面所成的角為
，
則
直線與平面所成的正切值為.
（2）設平面的法向量為
.
，
，即
，
令
，得
，
又平面的法向量為
，
，
，
，
二面角的正切值為2.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校共有學生2000人，其中男生1100人，女生900人為了調查該校學生每周平均課外閱讀時間，采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均課外閱讀時間（單位：小時）
（1）應抽查男生與女生各多少人？
（2）如圖，根據收集100人的樣本數據，得到學生每周平均課外閱讀時間的頻率分布直方圖，其中樣本數據分組區間為
.若在樣本數據中有38名女學生平均每周課外閱讀時間超過2小時，請完成每周平均課外閱讀時間與性別的列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均課外閱讀時間與性別有關”.
男生 | 女生 | 總計 | |
每周平均課外閱讀時間不超過2小時 | |||
每周平均課外閱讀時間超過2小時 | |||
總計 |
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知曲線
，過點
的直線
的參數方程為
．直線與曲線
分別交于
、
．
(1)求
的取值范圍；
(2)若
、
、
成等比數列，求實數的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
（
）的左右兩個焦點分別是
、
，
在橢圓
上運動.
（1）若對
有最大值為120°，求出
、
的關系式；
（2）若點是在橢圓上位于第一象限的點，過點作直線
的垂線
，過作直線
的垂線
，若直線、的交點
在橢圓上，求點的坐標；
（3）若設
，在（2）成立的條件下，試求出、兩點間距離的函數
，并求出的值域.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
的前
項1，3，7，
，
（
）組成集合
，從集合
中任取
（
）個數，其所有可能的個數的乘積的和為
（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記
.例如：當
時，
，
，
；
時，
，
，
，
.
（1）當
時，求
，
，
，
的值；
（2）證明：
時集合
的
與
時集合
的（為以示區別，用
表示）有關系式
（
，
）；
（3）試求
（用表示）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產
千件，需另投入成本
，當年產量不足80千件時，
（萬元）；當年產量不小于80千件時，
（萬元），每件售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若正項數列
滿足：
，則稱此數列為“比差等數列”．
（1）試寫出一個“比差等數列”的前
項；
（2）設數列是一個“比差等數列”，問
是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，請說明理由；
（3）已知數列是一個“比差等數列”，
為其前
項的和，試證明：
．
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