Question

【題目】數列的前項1，3，7，，（）組成集合，從集合中任取（）個數，其所有可能的個數的乘積的和為（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記.例如：當時，，，；時，，，，.

（1）當時，求，，，的值；

（2）證明：時集合的與時集合的（為以示區別，用表示）有關系式（，）；

（3）試求（用表示）.

Answer 1

【答案】（1），，，（2）見解析（3）

【解析】

（1）當時，得出，根據定義得出、、的值，可計算出的值；

（2）當時，集合有個元素，比時的集合多了一個元素；

，對應的包含兩個部分：（i）若不含，則中的任何一項恰好為時集合的對應的中的一項；（ii）若中含的任何一項，除了，其余的個數均來自集合，這個數的乘積恰好為集合所對應的中的一項，即可證明；

（3）由，，，猜想，下面利用數學歸納法進行即可.

（1）當時，，

，，，

（2）證明：當時，集合有個元素，比時的集合多了一個元素：.∴對應的包含兩個部分：

若中不含，則中的任何一項恰好為時集合的對應的中的一項.

若中含的任何一項，除了，其余的個數均來自集合，這個數的乘積恰好為集合所對應的中的一項.

∴有關系式

（3）解：由，，，

猜想.下面證明：（i）易知時成立.

（ii）假設時，，

則時，

（其中，，2，…，k，為時可能的k個數的乘積的和為，

，即時，也成立，

綜合（i）（ii）知對，成立.

∴.