Question

巳知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（

π

3

+x）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由f（x）=1求出sin（

x

2

+

π

6

）的值，即可確定出cos（

π

3

+x）的值；
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化簡，整理求出cosB的值，確定出B的度數，根據A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域確定出f（A）的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

=1，即sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

；
（Ⅱ）∵△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵B為三角形內角，∴B=

π

3

，
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，即1＜sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

＜

3

2

，
則f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

∈（1，

3

2

）．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式的作用，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．