Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=

1

2

n2+

11

2

n．?dāng)?shù)列{b_n}滿足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)，且b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞

k

57

對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）通過n=1，求出a₁，當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1，求出a_n=n+5（n≥2），通過b_n+2-2b_n+1+b_n=0推出{b_n}是等差數(shù)列，求出b_n．
（2）利用cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

，通過裂項法化簡，求出T_n，判斷T_n單調(diào)遞增，推出(Tn)min=T1=

1

3

，得到

1

3

＞

k

57

，求出k_max即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=6
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5，
∴a_n=n+5（n≥2）
又a₁=6也適合上式∴a n=n+5(n∈N+)
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
所以{b_n}是等差數(shù)列，又b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153，解得b₁=5，d=3．
因為b_n=3n+2…（6分）
（2）cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以T_n=c₁+c₂+…cn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

…（8分）
因為Tn+1-Tn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0…（10分）
因為T_n單調(diào)遞增，故(Tn)min=T1=

1

3

…（11分）
令

1

3

＞

k

57

，得k＜19，所以k_max=18．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和，遞推關(guān)系式以及通項公式的求法，數(shù)列的單調(diào)性以及不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．