Question

【題目】已知函數在處的導數為，，

（1）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

（2）若在上有且只有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由，求出，當時，易知不等式成立；當時，恒成立可轉化為恒成立，令，求導判斷的單調性，求出最小值，即可得到的取值范圍；

（2）由（1）知，，從而，因為函數為偶函數，且，所以要使在上有且只有一個零點，只需時，和沒有交點，對、、三種情況分類討論，可得的取值范圍.

（1）由題意，，由，解得，

所以，

①當時，，，不等式成立，

②當時，恒成立可轉化為恒成立，

令，，

，

令，則，

因為，所以恒成立，

在上單調遞減，，

又時，，所以，

所以在上單調遞減，，

所以；

（2）由（1）知，，

所以，

則，

所以是偶函數，且，

所以要使在上有且只有一個零點，

只需時，和沒有交點.

①當時，，

，解得，，不成立；

②當時，和的圖象如圖1所示，

由圖像知，當時，和相交于原點，

和只有一個交點，故時成立；

③當時，和的圖象如圖2所示，

有圖象知，要使和只有一個交點，

則對任意，有，即，

即在恒成立，

，當時，恒成立，

所以即在單調遞增，，

此時成立，符合題意，

當時，存在，使得在上遞減，此時，不合題意，

綜上所述，當在上有且只有一個零點，.