Question

18．已知函數$f（x）=\sqrt{x-1}$
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）在定義域上的單調性，并用單調性的定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據二次根式的被開方數大于或等于0，求出f（x）的定義域；
（2）利用單調性的定義即可證明函數f（x）在定義域上為增函數．

解答 解：（1）要使函數$f（x）=\sqrt{x-1}$有意義，需使x≥1，
所以函數$f（x）=\sqrt{x-1}$的定義域為[1，+∞）；
（2）函數$f（x）=\sqrt{x-1}$在定義域[1，+∞）上為增函數，
證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且△x=x₂-x₁＞0，
則$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）=\sqrt{{x_2}-1}-\sqrt{{x_1}-1}$
=$\frac{{（\sqrt{{x_2}-1}-\sqrt{{x_1}-1}）（\sqrt{{x_2}-1}+\sqrt{{x_1}-1}）}}{{\sqrt{{x_2}-1}+\sqrt{{x_1}-1}}}$
=$\frac{{（x}_{2}-1）-{（x}_{1}-1）}{\sqrt{{x}_{2}-1}+\sqrt{{x}_{1}-1}}$
=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{\sqrt{{x}_{2}-1}+\sqrt{{x}_{1}-1}}$；
因為x₂-x₁＞0且$\sqrt{{x_2}-1}+\sqrt{{x_1}-1}$＞0，
所以△y=f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．

點評 本題考查了求函數的定義域以及利用定義證明函數的單調性問題，是基礎題目．