Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F為CD的中點．
（1）求證：AF⊥平面CDE；
（2）求異面直線AC，BE所成角的余弦值；
（3）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得DE⊥AF．AF⊥CD，由此能證明AF⊥平面CDE．
（2）由已知得DE∥AB，取DE中點M，連結AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形，AM∥BE，則∠CAM為AC與BE所成的角，由此能求出異面直線AC、BE所成的角的余弦值．
（3）取CE的中點N，連結BN、FN，四邊形AFNB為平行四邊形，由此能求出多面體ABCDE的體積．

解答： （1）證明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F為CD中點，
∴AF⊥CD，∴AF⊥平面CDE．
（2）解：

DE⊥平面ACD AB⊥平面ACD

⇒DE∥AB，
取DE中點M，連結AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形．
AM∥BE，則∠CAM為AC與BE所成的角，
在△ACM中，AC=2a，

AM= AD2+DM2 = 4a2+a2 = 5 a， CM= CD2+DM2 = 4a2+a2 = 5 a， 由余弦定理得：cos∠CAM= (2a)2+( 5 a)2-( 5 a)2 2×2a× 5 a = 5 5 ，

∴異面直線AC、BE所成的角的余弦值為

5

5

．
（3）解：取CE的中點N，連結BN、FN，則FN

∥

.

1

2

DE，
又AB

∥

.

1

2

DE，則四邊形AFNB為平行四邊形．
∴AF∥BN，又由（1）知，AF⊥面CDE，∴BN⊥面CDE．

VABCDE=VB-ACD+VB-CDE= 1 3 AB• 3 4 •(2a)2+ 1 3 • 1 2 •2a•2a•BN = 1 3 a• 3 a2+ 1 3 •2a2• 3 a= 3 a3.

點評：本題考查AF⊥平面CDE的證明，考查異面直線AC，BE所成角的余弦值的求法，考查多面體ABCDE的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．