Question

對于給定的正整數n，則由直線y=n²與拋物線y=x²所圍成的封閉區域內（包括邊界）的整點個數是

 

．

Answer 1

考點：數列與解析幾何的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：直線y=n²與拋物線y=x²的交點A，B的坐標為A（n，n²），B（-n，n²），設直線x=k上位于區域內的線段的線段為CD，
其坐標為C（k，n²），D（k，k²），線段CD上的整點數為n²-k²+1，k∈{-n，…，-1，0，1，2，…，n}，由此能求出區域內的整點數．

解答： 解：如圖，直線y=n²與拋物線y=x²的交點A，B的坐標為A（n，n²），B（-n，n²），
設直線x=k上位于區域內的線段的線段為CD，
其坐標為C（k，n²），D（k，k²），
線段CD上的整點數為n²-k²+1，k∈{-n，…，-1，0，1，2，…，n}，
故區域內的整點數為：

n

k=-n

(n2-k2+1)=（2n+1）（n²+1）-2

n

k=1

k2
=

1

3

（2n+1）（2n²-n+3）．
故答案為：

1

3

（2n+1）（2n²-n+3）．

點評：本題考查區域內的整點數的求法，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．