Question

正三棱錐的高為1，底面邊長為2

6

，內有一個球與四個面都相切，求棱錐的表面積和球的半徑．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：過PA與球心O作截面PAE，與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE，確定AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，因為正三棱錐的高PD=1通過球心，所以D是三角形△ABC的重心，利用△POF∽△PED，求出球的半徑，棱錐的表面積．

解答： 解：過PA與球心O作截面PAE，與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE（如圖）
∵△ABC是正三角形，
∴AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，
又因為正三棱錐的高PD=1通過球心，所以D是三角形△ABC的重心，
∵底面正三角形邊長為2

6

，
∴DE=

1

3

AE=

1

3

×

3

2

×2

6

=

2

，
又PE為側面之高，所以PE=

3

．
設球的半徑為r，由△POF∽△PED，知

r

DE

=

1-r

PE

，
所以

r

2

=

1-r

3

，所以r=

6

-2，
所以棱錐的表面積=3×

1

2

×2

6

×

3

+

3

4

×（2

6

）²=9

2

+6

3

．

點評：本題考查棱錐的表面積和球的半徑，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．