Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）試寫出a₂，a₃，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：本題（1）利用遞推公式求出數(shù)列的第1、2項，根據(jù)等差數(shù)列的定義得到等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）由b_n=log₂a_n，得到數(shù)列{b_n}成等差，利用等差數(shù)列的求和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=2a₁=2×2=4，
a₃=2a₂=2×4=8，
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
an=2×2n-1=2ⁿ，（n∈N^*）．
∴a₂=4，a₃=8，an=2n．
（2）由（1）知：an=2n，
∴b_n=log₂a_n=n，
∴b₁=1，b_n+1-b_n=n+1-n=1，
∴數(shù)列{b_n}成等差，首項為1，公差為1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=

n(n+1)

2

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和公式，本題難度不大，屬于基礎題．