Question

12．等差數列{a_n}中，a₂=3，a₅=9，數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=2，則a₁=a₂-d=1，根據等差數列的通項公式即可求得a_n=2n-1，由S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n，當n=1時，b₁=$\frac{2}{3}$，當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，即可求得數列{b_n}的通項公式b_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知：c_n=a_n+b_n=（2n-1）+$\frac{2}{{3}^{n}}$，根據等比數列及等差數列前n項和公式，采用分組求和，即可求得數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設 等差數列{a_n} 公差為d，
∴d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{9-3}{5-2}$=2，
a₁=a₂-d=1，
由等差數列通項公式可知：a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
數列{a_n}的通項公式：a_n=2n-1；
由S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n，
令n=1，得b₁=$\frac{2}{3}$，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=（1-$\frac{1}{2}$b_n）-（1-$\frac{1}{2}$b_n-1），
b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1-$\frac{1}{2}$b_n，整理得：$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數列{b_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴b_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
當n=1時，成立，
∴數列{b_n}的通項公式b_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）c_n=a_n+b_n=（2n-1）+$\frac{2}{{3}^{n}}$，
求數列{c_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{（1+2n-1）n}{2}$+$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=n²+1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
數列{c_n}的前n項和T_n，${T_n}={n^2}+1-\frac{1}{3^n}$．

點評 本題考查等差及等比數列通項公式及前n項和公式，考查數列的分組求和，考查計算能力，屬于中檔題．