Question

11．已知函數f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在區間[-$\frac{π}{2}$，0]上的單調性．

Answer 1

分析 （1）先利用和角公式再通過二倍角公式，將次升角，化為一個角的一個三角函數的形式，通過函數的周期，求實數ω的值；
（2）由于x是[-$\frac{π}{2}$，0]范圍內的角，得到2x+$\frac{π}{4}$的范圍，然后通過正弦函數的單調性求出f（x）在區間[-$\frac{π}{2}$，0]上的單調性．

解答 解：（1）f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx=$\sqrt{2}$（sin2ωx+cos2ωx）+$\sqrt{2}$=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$．
因為f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
從而有$\frac{2π}{2ω}$=π，故ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$．
若-$\frac{π}{2}$≤x≤0，則-$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，
當-$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤-$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{2}$≤x≤$-\frac{3π}{8}$時，f（x） 在[-$\frac{π}{2}$，$-\frac{3π}{8}$]上單調遞減；
當-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，即$-\frac{3π}{8}$≤x≤0時f（x） 在[$-\frac{3π}{8}$，0]上單調遞增．

點評 本題考查三角函數的化簡求值，恒等關系的應用，注意三角函數值的變換，考查計算能力，常考題型．