Question

16．設定義域為R的函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x-2|，x≠2}\\{4，x=2}\end{array}\right.$，則關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個不同的實數解x_i（i=1，2，3，4，5），則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+2）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 畫出f（x）的圖象，由圖象可知，令f（x）=t，則t²+bt+c=0有兩個不等的實數根，且其中一個為2，由于lg|x-2|的圖象關于直線x=2對稱，且其中一個解為2，即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，再由對數的運算性質即可得到答案．

解答 解：畫出f（x）的圖象，
由于關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個不同的實數解，令f（x）=t，則t²+bt+c=0有兩個不等的實數根，
且其中一個為2，
畫出直線y=m（m≠2），
得到5個交點，其橫坐標為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
設x₃=2，
且x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
由于y=lg|x-2|的圖象關于直線x=2對稱，
則x₁+x₅=x₂+x₄=4，
即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+2）=f（12）=lg10=1，
故選：D

點評 本題考查分段函數及運用，考查函數的對稱性，以及數形結合的思想方法，同時考查對數的運算，屬于中檔題．