Question

【題目】如圖1，在矩形中，已知，，點，分別在邊，上，且，將梯形沿折起，使在平面上的射影恰好落在線段靠近的三等分點處，得到圖2中的立體圖形.

（1）（2）

（1）在圖2中，求證：平面；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據得面，根據得面，從而得到面，所以得到所以面；（2）以為原點建立空間直角坐標系，得到面的法向量為，的法向量為，根據向量夾角公式得到二面角的大小.

（1）證明：在梯形中，，

而面，面，

所以面，

在梯形中，，

而面，面，

所以面，

面，，

所以面面，

而面，

所以面；

（2）如圖，過作，作，

以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系.

由題意可求得，，所以，

于是，又，

所以，，

設面的一個法向量為，

所以，則

令，得，

又知面的一個法向量為，

設面與面所成二面角的大小為，易知為銳角，

由（1）的證明可知面平面，

所以二面角，

則，

即二面角.