Question

【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.

（1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面

（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由題意，先求得為的中點，再證明平面平面，進而可得結論；

（2）由題意，當點位于點時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.

（1）證明：當四面體的外接球的表面積為時.

則其外接球的半徑為.

因為時邊長為2的菱形，是矩形.

，且平面平面.

則，.

則為四面體外接球的直徑.

所以，即.

由題意，，，所以.

因為，所以為的中點.

記的中點為，連接，.

則，，，所以平面平面.

因為平面，所以平面.

（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.

當四面體的體積最大時，的面積最大.

所以當點位于點時，四面體的體積最大.

以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，.

所以，，，.

設平面的法向量為.

則

令，得.

設平面的一個法向量為.

則

令，得.

設平面與平面所成銳二面角是，則.

所以當四面體的體積最大時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.