【題目】如圖，在四棱錐
中，已知四邊形
是邊長為
的正方形，點
是
的中點，點
在底面上的射影為點，點
在棱
上，且四棱錐的體積為
.
（1）若點是的中點，求證:平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值為
，求直線
與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）求證見解析（2）
【解析】
（1）
是棱錐的高，由體積計算出高后計算出側棱長，得側面是等邊三角形，可證
平面
，再得面面垂直；
（2）分別以
為
軸的正方向建立空間直角坐標系
，寫出各點坐標，求出平面的法向量，直線的方向向量，由向量法來求空間角．
（1）依題意，
平面
，又是邊長為
的正方形，且四棱錐的體積為
，
所以
，所以
，
，
又
，點
是
的中點，所以
，同理，
，又
，
所以平面
，又
平面
，所以平面
平面.
（2）連接
，易得，
，
互相垂直，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
因為為棱上一點，設
，所
，
設平面的法向量
，則由
得
令
，則
，所以
，又平面
的法向量為
，
所以
，解得
，所以
，
又
，所以
，
所以直線
與平面所成角的正弦值為.
口算題卡北京婦女兒童出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市環保部門對市中心每天的環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污染指數
與時刻
（時）的關系為
，
，其中
是與氣象有關的參數，且
．若用每天的最大值為當天的綜合污染指數，并記作
．
（1）令
，，求
的取值范圍；
（2）求的表達式，并規定當
時為綜合污染指數不超標，求當在什么范圍內時，該市市中心的綜合污染指數不超標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設拋物線
與
的公共點
的橫坐標為
，過且與
相切的直線交
于另一點
，過且與相切的直線交于另一點
，記
為
的面積.
（Ⅰ）求
的值（用
表示）；
（Ⅱ）若
，求的取值范圍.
注：若直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行也不重合，則稱該直線與拋物線相切.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右焦點分別為
，離心率為
，
是橢圓
上的一個動點，且
面積的最大值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線
斜率為
，且與橢圓的另一個交點為
，是否存在點
，使得
若存在，求
的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
是邊長為2的菱形，且
，
是矩形，
，且平面
平面，
點在線段
上移動（不與
重合），
是
的中點.
（1）當四面體
的外接球的表面積為
時，證明：
.平面
（2）當四面體的體積最大時，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
半徑為
的圓
與直線
相切,圓心在
軸上且在直線的上方.
（1）求圓的方程;
（2）設過點
的直線
被圓截得弦長等于
,求直線
的方程;
（3）過點
的直線與圓交于
兩點（
在軸上方）,問在軸正半軸上是否存在點
,使得軸平分
?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】北方的冬天戶外冰天雪地，若水管裸露在外，則管內的水就會結冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來不便．每年冬天來臨前，工作人員就會給裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位．某工作人員采用四層包裹法（除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層）：如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一．設水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm．在圖2水管的側面展開圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是（ ）（保溫帶厚度忽略不計）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（
）和嚴重急性呼吸綜合征（
）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（
）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.
某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（
）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：
方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.
方式二：混合檢驗，將其中k（
且
）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.
若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為
.
假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（
）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為
，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為
.
（1）若
，試求p關于k的函數關系式
；
（2）若p與干擾素計量
相關，其中
（
）是不同的正實數，
滿足
且
（）都有
成立.
（i）求證：數列
等比數列；
（ii）當
時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求k的最大值
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