Question

【題目】已知多面體中，為矩形，平面，，且，，，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析過程；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，連接，利用平行四邊形的判定定理和性質定理，結合線面平行的判定定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式求解即可.

（1）連接交于點，因為是矩形，所以是的中點，連接.

因為，且，所以四邊形是平行四邊形，又因為是的中點，點為的中點，所以四邊形是平利四邊形，因此有，

又因為平面，而平面，因此有平面；

（2）以為空間直角坐標系的坐標原點，以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

設平面和平面的一個法向量分別為：

，所以；

，所以，

，

所以二面角的平面角的正弦值為：.