Question

【題目】已知函數，.

（1）恒成立的實數的最大值；

（2）設，，且滿足，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）化為分段函數，根據函數單調性即可求出函數的最小值，即可求出的值，

（2）由m＞0，n＞0，且，即：，化簡≥2|m+2n|，由2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（）4即可證得.

（1）已知函數，.由題意得，恒成立，

即h（x）==2|x﹣1|﹣|x+1|＝，

顯然，h（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

∴h（x）min＝h（1）＝﹣2，∴t﹣2，即最大值=-2.

（2）由于m＞0，n＞0，且，即：，

=+=2（|m+1|+|2n﹣1|）≥2|m+2n|，

∴2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（），

當且僅當，即當n＝，m＝時取“＝”，

故