Question

2．已知直角坐標平面O-XY上的動點P到定點F（1，0）的距離比它到y軸的距離多1，記P點的軌跡為曲線C，則直線l：2x-3y+4=0與曲線C的交點的個數為（　　）

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 設出動點P的坐標，分P的橫坐標小于等于0和大于0兩種情況討論，橫坐標小于等于0時，明顯看出P的軌跡是x軸負半軸，x大于0時直接由題意列式化簡整理即可，從而可得結論．

解答 解：設P（x，y），
由P到定點F（1，0）的距離為$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
P到y軸的距離為|x|，
當x≤0時，P的軌跡為y=0（x≤0）；
當x＞0時，又動點P到定點F（1，0）的距離比P到y軸的距離大1，
列出等式：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$-|x|=1，
化簡得y²=4x（x≥0），為焦點為F（1，0）的拋物線．
則動點P的軌跡方程為y²=4x或y=0（x≤0）．
直線l：2x-3y+4=0與曲線C聯立，可得y²-6y+8=0或y=0，x=-2，
∴直線l：2x-3y+4=0與曲線C的交點的個數為3個．
故選：D．

點評 本題考查求軌跡方程的方法：直接法，考查聯立直線方程和拋物線方程，屬于中檔題和易錯題．