Question

17．設G是△ABC的重心，且$\sqrt{7}\overrightarrow{GA}sinA+3\overrightarrow{GB}sinB+3\sqrt{7}\overrightarrow{GC}sinC=\overrightarrow 0$，則角B的大小為60°．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，再根據G為三角形重心，利用中線的性質及向量法則變形，求出a，b，c，利用余弦定理表示出cosB，即可確定出B的度數．

解答 解：∵G是重心，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}$，
∵$\sqrt{7}\overrightarrow{GA}sinA+3\overrightarrow{GB}sinB+3\sqrt{7}\overrightarrow{GC}sinC=\overrightarrow 0$，
∴$\sqrt{7}$（-$\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}$）sinA+3$\overrightarrow{GB}$sinB+3$\sqrt{7}$$\overrightarrow{GC}$sinC=$\overrightarrow{0}$，
∴（3sinB-$\sqrt{7}$sinA）$\overrightarrow{GB}$+（3$\sqrt{7}$sinC-$\sqrt{7}$sinA）$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{GC}$不共線，
∴3sinB=$\sqrt{7}$sinA=3$\sqrt{7}$sinC，
∴3b=$\sqrt{7}$a=3$\sqrt{7}$c，
設3b=$\sqrt{7}$a=3$\sqrt{7}$c=k，k＞0，
則a=$\frac{k}{\sqrt{7}}$，b=$\frac{k}{3}$，c=$\frac{k}{3\sqrt{7}}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{7}+\frac{{k}^{2}}{63}-\frac{{k}^{2}}{9}}{2×\frac{k}{\sqrt{7}}×\frac{k}{3\sqrt{7}}}$=$\frac{1}{2}$，
0°＜B＜180°
∴B=60°．
故答案為：60°．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握定理是解本題的關鍵．