Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx﹣sinx,記f（x）的導函數為f'（x）.

（1）若h（x）＝axf'（x）是（0,+∞）上的單調遞增函數,求實數a的取值范圍；

（2）若x∈（0,2π）,試判斷函數f（x）的極值點個數,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）a≥1；（2）函數f（x）在（0,2π）上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點；理由詳見解析

【解析】

（1）只需h′（x）≥0在（0,+∞）恒成立,借助于三角函數的有界性,問題可解決.

（2）分x∈（0,1）,,,四種情形分別研究f（x）的單調性,進而得出結論.

解：（1）∵,

∴ax+cosx,因為h（x）是（0,+∞）上的單調遞增函數,

∴h′（x）＝a﹣sinx≥0（x＞0）恒成立,因為sinx∈[﹣1,1],

故a≥1時,h′（x）≥0恒成立,且導數為0時不連續.

故a≥1即為所求.

（2）由（1）知,,

①當x∈（0,1]時,f′（x）≥1﹣cosx＞0,

此時函數f（x）單調遞增,無極值點；

②當時,則,

∵,而由三角函數的性質可知,,

∴,

此時函數f（x）單調遞增,無極值點；

③當時,cosx＜0,則,

此時函數f（x）單調遞增,無極值點；

④當時,令,則,

∴函數g（x）單調遞減,

又,

∴存在唯一的,使得g（x0）＝0,

且當時,g（x）＝f′（x）＞0,f（x）單調遞增,

當x∈（x0,2π）時,g（x）＝f′（x）＜0,f（x）單調遞減,

故x0是函數f（x）的極大值點,

綜上所述,函數f（x）在（0,2π）上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點.