Question

已知O為坐標原點，平面向量

OA

=（

3

，-1），

OB

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）證明：

OA

⊥

OB

；
（2）若點C為

OA

和

OB

夾角平分線上的點，且|

OC

|=4，求向量

OC

．

Answer 1

分析：（1）由向量

OA

和

OB

的坐標，求出

OA

•

OB

=0，利用兩個向量垂直的條件可得

OA

⊥

OB

．
（2）設

OC

=（x，y），則易知直線OC的傾斜角等于15°，再由 x=4cos15°=4cos （45°-30°），y=4sin15°=4sin （45°-30°），利用兩角和差的正弦、余弦公式
求出x、y的值，從而求得

OC

的坐標．

解答：解：（1）證明：∵平面向量

OA

=（

3

，-1），

OB

=（

1

2

，

3

2

），∴

OA

•

OB

=

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，
∴

OA

⊥

OB

．  
（2）設

OC

=（x，y），則易知

OC

所在的直線與x軸的夾角為15°，即直線OC的傾斜角等于15°．
再由|

OC

|=4 可得 x=4cos15°=4cos （45°-30°）=4（

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

）=

6

+

2

，
y=4sin15°=4sin （45°-30°）=4（

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

）=

6

-

2

，
故

OC

=（

6

+

2

，

6

-

2

）．

點評：本題主要考查兩個向量垂直的條件，兩個向量坐標形式的運算，兩角和差的正弦、余弦公式的應用，屬于中檔題．