Question

已知O為坐標原點，向量

OA

=(sinα，1)，

OB

=(cosα，0)，

OC

=(-sinα，2)，點P滿足

AB

=

BP

．
（Ⅰ）記函數f(α)=

PB

•

CA

，求函數f（α）的最小正周期；
（Ⅱ）若O，P，C三點共線，求|

OA

+

OB

|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設

OP

=(x，y)，由向量的坐標運算求出

AB

、

BP

和

CA

的坐標，由

AB

=

BP

和向量相等的充要條件求出x和y，求出

PB

的坐標，由向量的數量積運算f(α)=

PB

•

CA

和三角公式化簡，再由周期公式求出；
（Ⅱ）根據條件得

OP

∥

0C

，代入向量共線的坐標條件，由商的關系求出tanα，再由二倍角的正弦公式和平方、商的關系將sin2α用tanα表示出來并求值，再求出|

OA

+

OB

|的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

OA

=(sinα，1)，

OB

=(cosα，0)，

OC

=(-sinα，2)
∴

AB

=(cosα-sinα，-1)，

CA

=(2sinα，-1)
設

OP

=(x，y)，則

BP

=(x-cosα，y)，
由

AB

=

BP

得，

x=2cosα-sinα y=-1

，
故

OP

=(2cosα-sinα，-1)，則

PB

=(sinα-cosα，1)，
∴f（α）=（sinα-cosα，1）•（2sinα，-1）
=2sin²α-2sinαcosα-1
=-（sin2α+cos2α）
=-

2

sin(2α+

π

4

)
∴f（α）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由O，P，C三點共線可得：

OP

∥

0C

則（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
解得tanα=

4

3

，
∴sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

24

25

，
∴|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

2+sin2α

=

74

5

．

點評：本題是向量與三角函數的綜合題，考查了向量的坐標運算、數量積運算、向量相等的充要條件，三角恒等變換中公式，涉及的公式多，需要熟練掌握并會靈活運用．