Question

8．已知點G（5，4），圓C₁：（x-1）²+（y-4）²=25，過點G的動直線l與圓C₁相交于E、F兩點，線段EF的中點為C，且C在圓C₂上．
（1）若直線mx+ny-1=0（mn＞0）經過點G，求mn的最大值；
（2）求圓C₂的方程；
（3）若過點A（1，0）的直線l₁與圓C₂相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，l₁與l₂：x+2y+2=0的交點為N，求證：|AM|•|AN|為定值．

Answer 1

分析 （1）若直線mx+ny-1=0（mn＞0）經過點G，則5m+4n=1，由基本不等式可得答案；
（2）利用$\overrightarrow{{C}_{1}C}$•$\overrightarrow{CG}$=0，即可求點C的軌跡C₂的方程；
（3）分別聯立相應方程，求得M，N的坐標，再求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$

解答 解：（1）若直線mx+ny-1=0（mn＞0）經過點G，
則5m+4n=1≥2$\sqrt{5m•4n}$=4$\sqrt{5}$•$\sqrt{mn}$，
故$\sqrt{mn}$≤$\frac{1}{4\sqrt{5}}$，
∴mn≤$\frac{1}{80}$，
即mn的最大值為$\frac{1}{80}$；
（2）圓C₁：（x-1）²+（y-4）²=25，圓心C₁（1，4），半徑為5，
設C（x，y），則$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=（x-1，y-4），$\overrightarrow{CG}$=（5-x，4-y），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}C}$•$\overrightarrow{CG}$=0，
∴（x-1）（5-x）+（y-4）（4-y）=0，即：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴點C的軌跡C₂的方程為：（x-3）²+（y-4）²=4；
證明：（3）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx-y-k=0
與x+2y+2=0聯立可得N（$\frac{2k-2}{2k+1}$，-$\frac{3k}{2k+1}$），
又直線CM與l₁垂直，$\left\{\begin{array}{l}y=kx-k\\ y-4=-\frac{1}{k}（x-3）\end{array}\right.$得M（$\frac{{k}^{2}+4k+3}{1+{k}^{2}}$，$\frac{{4k}^{2}+2k}{1+{k}^{2}}$）．
∴|AM|•|AN|=|$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$|=|$\frac{2|2k+1|}{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{3•\sqrt{1+{k}^{2}}}{|2k+1|}$|=6為定值．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系以及直線與直線的交點，考查向量知識的運用，屬于中檔題