Question

15．已知函數f（x）=b•a^x（a＞0，且a≠1，b∈R）的圖象經過點A（1，6），B（3，24）．
（1）設g（x）=$\frac{1}{f（x）+3}$-$\frac{1}{6}$，確定函數g（x）的奇偶性；
（2）若對任意x∈（-∞，1]，不等式（$\frac{a}{b}$）^x≥2m+1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意，可得$\left\{\begin{array}{l}{ab=6}\\{{ba}^{3}=24}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=3，即f（x）=3•2^x，故g（x）=$\frac{1}{f（x）+3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3{（2}^{x}+1）}$-$\frac{1}{6}$，利用g（x）+g（-x）=0可確定函數g（x）的奇偶性；
（2）任意x∈（-∞，1]，不等式（$\frac{a}{b}$）^x≥2m+1恒成立?2m+1≤[${（\frac{2}{3}）}^{x}$]_min，x∈（-∞，1]，利用指數函數的單調性可求得當x∈（-∞，1]時，[${（\frac{2}{3}）}^{x}$]_min=${（\frac{2}{3}）}^{1}$=$\frac{2}{3}$，從而可求實數m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=b•a^x（a＞0，且a≠1，b∈R）的圖象經過點A（1，6），B（3，24），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=6}\\{{ba}^{3}=24}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=3，
∴f（x）=3•2^x，
又g（x）=$\frac{1}{f（x）+3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3{（2}^{x}+1）}$-$\frac{1}{6}$，
∴g（x）+g（-x）=$\frac{1}{3{（2}^{x}+1）}$+$\frac{1}{3{（2}^{-x}+1）}$-$\frac{1}{6}$×2=$\frac{1}{3{（2}^{x}+1）}$+$\frac{{2}^{x}}{3{（2}^{x}+1）}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴函數g（x）為奇函數；
（2）由（1）知，a=2，b=3，
∴對任意x∈（-∞，1]，不等式（$\frac{a}{b}$）^x≥2m+1恒成立?2m+1≤[${（\frac{2}{3}）}^{x}$]_min，x∈（-∞，1]，
∵y=${（\frac{2}{3}）}^{x}$為減函數，
∴當x∈（-∞，1]時，[${（\frac{2}{3}）}^{x}$]_min=${（\frac{2}{3}）}^{1}$=$\frac{2}{3}$，
∴2m+1≤$\frac{2}{3}$，
∴m≤-$\frac{1}{6}$，
即實數m的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{6}$]．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查函數奇偶性的判定與指數函數單調性的應用，突出考查函數與方程思想、等價轉化思想的綜合運用，考查運算能力，屬于難題．