Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0），|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：根據橢圓的離心率及菱形的面積公式，即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；
（2）設直線l方程，代入橢圓方程，求得B點坐標，利用兩點之間的距離公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直線l的傾斜角．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則a²=4b²，a=2b，①
由$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2，②
由①②解得：a=2，b=1，
∴橢圓的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由題知，A（-2，0），直線l斜率存在，故設l：y=k（x+2），
則$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+2}）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，△＞0，
由$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，得${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{{{（{-2-{x_1}}）}^2}+{{（{0-{y_1}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}$，
∴$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，∴k=±1．
故直線的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．