Question

已知函數．

（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；

（2）求f（x）的單調區間；

（3）設，若對任意，均存在，使得，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）;

（2）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的導函數，把x=1代入導函數中求出的導函數值即為切線的斜率，可得曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（2）求出f（x）的導函數，分a大于等于0和a小于0兩種情況討論導函數的正負，進而得到函數的單調區間；（3）對任意，均存在，使得，等價于，分別求出相應的最大值，即可求得實數a的取值范圍．

試題解析：【解析】
（1）由已知， ，所以斜率，

又切點，所以切線方程為），即

故曲線在處切線的切線方程為。

（2）

①當時，由于，故，，所以的單調遞增區間為．

②當時，由，得．

在區間上，，在區間上，，

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（3）由已知，轉化為． ，所以

由（2）知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意．

（或者舉出反例：存在，故不符合題意．）

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故的極大值即為最大值，，

所以， 解得．

考點：1．利用導數研究曲線上某點切線方程；2．利用導數研究函數的單調性；3．利用導數求閉區間上函數的最值．