Question

【題目】已知拋物線E：焦點F，過點F且斜率為2的直線與拋物線交于A、B兩點，且．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設O是坐標原點，P，Q是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點，且

①證明：直線PQ必過定點，并求出定點G的坐標；

②過G作PQ的垂線交拋物線于C，D兩點，求四邊形PCQD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析，②88

【解析】

(1) 設直線：，聯立：，利用焦半徑公式可得的值，進而可得拋物線E的方程；

(2) ①設直線PQ：聯立：得：，利用條件和韋達定理，可得的值，進而可得定點G的坐標；②求出和，進而表示出四邊形PCQD面積，利用換元法可求得最小值.

解：(1) 設直線：，聯立：，得：，

∵，

∴p = 2，

∴拋物線方程為：；

(2) ①設直線PQ：

聯立：得：，

∴，

∵，

∴或（舍），

∴

②

同理

，

設，∴，

∵在遞增，

∴當t = 2時，即時，∴