Question

【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓的左、右焦點，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，且的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點A是第一象限內橢圓上一點，且在軸上的正投影為右焦點，過點作直線分別交橢圓于兩點，當直線的傾斜角互補時，試問：直線的斜率是否為定值；若是，請求出其定值；否則，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意求出a，b,即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）依題意知，點，設，直線的方程為：，聯立方程可得利用韋達定理表示G點坐標，同理可得： ，），從而得到結果.

（Ⅰ）由題設知，

由橢圓的定義知：的周長為，解得.

故因此，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：依題意知，點，設

直線的方程為：，

聯立，得，

則， 即，

又，

即 ，）

又直線的傾斜角互補，則直線的斜率為

同理可得： ，），

因此，直線的斜率為為定值.