Question

【題目】設分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且點和關于點對稱.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，過點且平行于的直線與橢圓交于另一點，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在直線為滿足題意，詳見解析

【解析】

（Ⅰ）根據對稱性求出點，從而可得出橢圓兩焦點的坐標，利用橢圓定義求出的值，結合的值，可求出的值，從而寫出橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線的方程為，可得出直線的方程為，設，， 將直線的方程與橢圓的方程聯立，消去，得出有關的一元二次方程，并列出韋達定理，同理將直線的方程與橢圓的方程聯立可得出點的坐標，由已知條件得出線段與的中點重合，從而可得出有關的方程，求出的值，即可得出直線的方程．

（Ⅰ）解：由點和關于點對稱，得，

所以橢圓E的焦點為，，

由橢圓定義，得 .

所以 ，.

故橢圓的方程為；

（Ⅱ）解：結論：存在直線，使得四邊形的對角線互相平行.

理由如下：

由題可知直線，直線的斜率存在，

設直線的方程為，直線的方程為

由，消去

得，

由題意，可知 ，設，，

則，，

由消去,

得，

由，可知，設，又，

則

若四邊形的對角線互相平行，則與的中點重合，

所以，即

故

所以

解得，

所以直線為，四邊形的對角線互相平分．