Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，是棱上的一點.

（1）證明：平面平面；

（2）若，是的中點，，，且二面角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）或4

【解析】

(1)先證明,結合,推出平面,再根據面面垂直的判定定理證明出結論;

(2)以為原點,,,分別為,,軸建立空間直角坐標系,利用向量法結合夾角公式建立的關系式,求解即可.

(1)因為平面,平面,所以,

又,,

所以平面,

又平面,所以平面平面;

(2)以為原點,,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系:

則,,,,,,

由(1)知平面,故,

又是的中點,,

,且,

∴平面,

∴平面的一個法向量為,

∵,

∴,

∴,

設平面的法向量為,

則且,

∴且,

∴,令,則,

∴平面的一個法向量,

∵二面角的正弦值為,

∴,

∴,

∴或4.