Question

【題目】已知函數f（x）＝a1nx﹣ax+1（a∈R且a≠0）．

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）求證：（n≥2，n∈N*）．

Answer 1

【答案】（1）當a＞0時, f（x）的單調遞增區間（0，1），單調遞減區間（1，+∞）；

當a＜0時, f（x）的單調遞減區間（0，1），單調遞增區間（1，+∞）；

（2）證明，見解析

【解析】

（1）對f(x)求導，分a＞0，a＜0兩種情況討論，分析函數單調性即可；

（2）令a＝1，由（1）可證得lnx＜x﹣1，即，疊乘可得證.

（1）∵f（x）＝a1nx﹣ax+1，∴f′（x）a，

①當a＞0時，

若0＜x＜1，則f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調遞增區間（0，1），單調遞減區間（1，+∞）；

②當a＜0時，

若0＜x＜1，則f′（x）＜0，若x＞1，f′（x）＞0，

∴f（x）的單調遞減區間（0，1），單調遞增區間（1，+∞）；

（2）令a＝1，則f（x）＝lnx﹣x+1，所以f（1）＝0，

由（1）可知f（x）在[1，+∞）單調遞減，

故f（x）≤f（1），（當x＝1時取等號），

所以lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1，

從而有0＜lnn＜n﹣1，（n≥2，n∈N*），

即（n≥2，n∈N*），

∴（n≥2，n∈N*）．