Question

【題目】如圖，已知矩形中，，，為的中點，將沿著折起，使得.

（1）求證：；

（2）若是的中點，求直線與平面的所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據，，為的中點，在中，由勾股定理可得.由，同理在中，得到.由線面垂直的判定定理證明面即可.

（2）結合（1）以為原點，為軸，過垂直于面方向為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和的坐標，設直線與平面的所成角，由求解.

（1）因為，，為的中點，

所以在中，，

所以.

又因為，

所以在中，因為，

所以.

又，

所以面，

又面，

所以.

（2）以為原點，為軸，過垂直于面方向為軸，建立空間直角坐標系：

則，，，，，，

所以，，

設平面的一個法向量，

則，

即，

令，則

所以平面的一個法向量為，

又，

設直線與平面的所成角，

所以與面所成角的正弦值為：.