Question

【題目】某公司每月最多生產100臺警報系統裝置，生產x臺（x∈N*）的總收入為30x﹣0.2x2（單位：萬元）．每月投入的固定成本（包括機械檢修、工人工資等）為40萬元，此外，每生產一臺還需材料成本5萬元．在經濟學中，常常利用每月利潤函數P（x）的邊際利潤函數MP（x）來研究何時獲得最大利潤，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）． （Ⅰ）求利潤函數P（x）及其邊際利潤函數MP（x）；
（Ⅱ）利用邊際利潤函數MP（x）研究，該公司每月生產多少臺警報系統裝置，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）
=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）
=﹣0.2x2+25x﹣40，
MP（x）=P（x+1）﹣P（x）
=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]
=24.8﹣0.4x，
（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是減函數，
∴當x=1時，MP（x）的最大值為24.40（萬元）
【解析】（Ⅰ）利用利潤是收入與成本之差，求利潤函數P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其邊際利潤函數MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是減函數，即可得出結論．