Question

17．對于下列命題：
①對立事件一定是互斥事件，但互斥事件卻不一定是對立事件；
②設隨機變量ξ的可能值為0，1，2，且P（ξ=0）=0.4，如果E（ξ）=1，那么D（ξ）=0.8；
③一個家庭中有三個小孩，假定生男孩和生女孩都是等可能的，事件A={這個家庭中既有男孩又有女孩}，事件B={這個家庭中最多一個女孩}，則A與B是相互獨立事件；
④從1，2，3，…，9中任取3個數，設ξ為這3個數中兩數相鄰的組數（例如：若取出的數為1，2，3，則有兩組相鄰的數1、2和2、3，此時ξ=2），則P（ξ=0）的值大于$\frac{3}{8}$．
對于上述的四個命題，其中是真命題的有①②④（把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 根據互斥事件與對立事件的關系，可判斷①；根據已知求出D（ξ），可判斷②；根據相互獨立事件的定義，可判斷③；計算出P（ξ=0）的值，可判斷④．

解答 解：①對立事件一定是互斥事件，但互斥事件卻不一定是對立事件，為真命題；
②設隨機變量ξ的可能值為0，1，2，且P（ξ=0）=0.4，
設P（ξ=1）=a，則P（ξ=2）=0.6-a，
如果E（ξ）=1，a+2（0.6-a）=1，解得：a=0.2，
∴P（ξ=1）=0.2，P（ξ=2）=0.4
那么D（ξ）=0.8，為真命題；
③一個家庭中有三個小孩，假定生男孩和生女孩都是等可能的，事件A={這個家庭中既有男孩又有女孩}，事件B={這個家庭中最多一個女孩}，則A與B不是相互獨立事件，為假命題；
④從1，2，3，…，9中任取3個數，設ξ為這3個數中兩數相鄰的組數，則P（ξ=0）=$\frac{5}{12}$＞$\frac{3}{8}$，為真命題．
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了互斥事件與對立事件，分布列與期望，相互獨立事件，概率等知識點，難度中檔．