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(1)已知橢圓過點P(0,3)且a=3b,求橢圓的標準方程;
(2)焦點在x軸上的雙曲線過點P(4
2
,-3)
,且點Q(0,5)與兩焦點的連線相互垂直,求此雙曲線的方程.
考點:橢圓的標準方程,雙曲線的標準方程
專題:圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(1)當橢圓焦點在x軸時,設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,a>b>0,由已知得
9
b2
=1
a=3b
;當橢圓焦點在y軸時,設橢圓方程為
x2
b2
+
y2
a2
=1
,a>b>0,由已知得
9
a2
=1
a=3b
.由此能求出橢圓標準方程.
(2)設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,由已知得
32
a2
-
9
b2
=1
5
c
5
-c
=-1
c2=a2+b2
,由此能求出雙曲線方程.
解答: 解:(1)當橢圓焦點在x軸時,設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,a>b>0,
由已知得
9
b2
=1
a=3b
,解得a=9,b=3,
∴橢圓的標準方程為
x2
81
+
y2
9
=1.
當橢圓焦點在y軸時,設橢圓方程為
x2
b2
+
y2
a2
=1
,a>b>0,
由已知得
9
a2
=1
a=3b
,解得a=3,b=1,
∴橢圓標準方程為x2+
y2
9
=1

(2)設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,a>0,b>0,
∵雙曲線過點P(4
2
,-3)
,且點Q(0,5)與兩焦點的連線相互垂直,
32
a2
-
9
b2
=1
5
c
5
-c
=-1
c2=a2+b2
,解得a=4,b=3,
∴雙曲線方程為
x2
16
-
y2
9
=1
點評:本題考查雙曲線方程和橢圓方程的求法,是基礎題,解題時要注意圓錐曲線的性質的合理運用.
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A、
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