Question

15．已知體積為3$\sqrt{3}$的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各頂點都在同一球面上，若AB=$\sqrt{3}$，則此球的表面積等于$\frac{52π}{3}$．

Answer 1

分析 正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．

解答 解：由題意可知：$\frac{\sqrt{3}}{4}•3•$AA₁=3$\sqrt{3}$，∴AA₁=4
正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
所以外接球的半徑為：$\sqrt{\frac{1}{3}+4}$=$\sqrt{\frac{13}{3}}$．
所以外接球的表面積為：4π（$\sqrt{\frac{13}{3}}$）²=$\frac{52π}{3}$．
故答案為：$\frac{52π}{3}$．

點評 本題是中檔題，考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關鍵，考查空間想象能力，計算能力．