Question

已知點M（0，1），C（2，3），動點P滿足|

PC

|=1，過點M且斜率為k的直線l與動點P的軌跡相交于A、B兩點．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求實數k的取值范圍；
（3）求證：

MA

•

MB

為定值；
（4）若O為坐標原點，且

OA

•

OB

=12，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數量積的運算

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設P（x，y），由已知得

(x-2)2+(y-3)2

=1，由此能求出動點P的軌跡方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+1，代入動點P的軌跡方程得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，由此利用根的判別式能求出實數k的取值范圍．
（3）設過M點的圓切線為MT，T為切點，由MT²=MA×MB，能證明

MA

•

MB

為定值．
（4）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4k(k+1)

1+k2

+8=12，由此能求出直線l的方程．

解答： （1）解：設P（x，y），
∵點M（0，1），C（2，3），動點P滿足|

PC

|=1，
∴

(x-2)2+(y-3)2

=1，
整理，得動點P的軌跡方程為：（x-2）²+（x-3）²=1．…（2分）
（2）解：直線l過點M（0，1），且斜率為k，
則直線l的方程為y=kx+1，…（3分）
將其代入動點P的軌跡方程得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
由題意：△=[-4（1+k）]²-28（1+k²）＞0，
解得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

．…（6分）
（3）證明：設過M點的圓切線為MT，T為切點，
則MT²=MA×MB，
而MT²=（0-2）²+（1-3）²=7，…（8分）
∴

MA

•

MB

=|

MA

|•|

MB

|cos0°=7為定值．…（10分）
（4）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知

x1+x2= 4+4k 1+k2 x1x2= 7 1+k2

，…（10分）

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=

4k(k+1)

1+k2

+8=12，…（12分）
解得k=1，當k=1時．△=8²-4×2×7=8，…（13分）
故k=1，直線l的方程為y=x+1．…（14分）

點評：本題考查動點的軌跡方程的求法，考查直線斜率的取值范圍的求法，考查

MA

•

MB

為定值的證明，考查直線方程的求法，解題時要注意根的判斷式、韋達定理的合理運用．