Question

雙曲線C的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交
l₁，l₂于A，B兩點．已知|

OA

|=2|

FA

|，且

BF

與

FA

同向．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）設F（3

5

，0），求直線AB被雙曲線C所截得的線段的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由BF⊥OB，得∠OFA=90°+α，根據正弦定理

| OA |

sin∠OFA

=

| AF |

sin∠FOA

，得cosα=2sinα，由此能求出雙曲線的離心率．
（2）由已在得橢圓方程為

x2

36

-

y2

9

=1，直線AB的方程為y=-2（x-3

5

由此能求出AB被雙曲線所截得的線段長．

解答： 解：（1）由BF⊥OB，得∠OFA=90°+α，
∵△OFA中，|

OA

|=2|

FA

|，
∴根據正弦定理

| OA |

sin∠OFA

=

| AF |

sin∠FOA

，
得sin∠OFA=2sin∠FOA，
即sin（90°+α）=2sinα，可得cosα=2sinα，
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

，∴

b

a

=

1

2

，得a=2b，c=

a2+b2

=

5

b，
∴雙曲線C的離心率e=

c

a

=

5 b

2b

=

5

2

．
（2）∵F（3

5

，0），∴c=3

5

，
則由

c

a

=

5

2

，得a=6，b²=（3

5

）²-6²=9，
∴橢圓方程為

x2

36

-

y2

9

=1，
∵l₁的斜率為

b

a

=

1

2

，∴直線AB的斜率k=-2，得直線AB的方程為y=-2（x-3

5

），…②
將②代入①并化簡，得15x²-96

5

x+756=0
設AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

32 5

5

，x₁x₂=

252

5

，…③
∴AB被雙曲線所截得的線段長為：
|AB|=

1+4

•|x₁-x₂|=

5(x1+x2)2-4x1x2

=

5×( 32 5 5 )2-4× 252 5

=4．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，考查直線被雙曲線截得的線段長的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．