Question

已知圓C的方程為x²+y²=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l：y=kx+

3

（k＞0）與橢圓相交于P，Q兩點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用點到直線的距離公式，求得另一條切線方程，與圓方程聯立，從而可得直線AB的方程，由此可求橢圓T的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理求出|PQ|，求出原點到直線l的距離，表示出三角形的面積，進而利用基本不等式，即可求得△OPQ面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意：一條切線方程為：x=2，設另一條切線方程為：y-4=k（x-2）．（2分）
則：

|4-2k|

k2+1

=2，解得k=

3

4

，此時切線方程為：y=

3

4

x+

5

2

，
切線方程與圓方程聯立，可得x²+（

3

4

x+

5

2

）²=4，
從而可得x=-

6

5

，y=

8

5

，
則直線AB的方程為x+2y=2…．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2
故所求橢圓方程為

x2

4

+y²=1．…．（6分）
（2）聯立

y=kx+ 3 x2 4 +y2=1

，整理得(1+4k2)x2+8

3

kx+8=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

8 3 k

1+4k2

，x1x2=

8

1+4k2

，
△=(8

3

k)2-32(1+4k2)＞0，即：2k²-1＞0…．．（8分）
又原點到直線l的距離為d=

| 3 |

1+k2

，|PQ|=

1+k2

|x1-x2|，…．（10分）
∴S_△OPQ=

1

2

|PQ|d=

3

2

|x2-x1|
=

3

2

(- 8 3 1+4k2 )2- 32 1+4k2

=2

6

•

2k2-1 (1+4k2)2

=2

6

•

2k2-1 4(2k2-1)2+12(2k2-1)+9

=2

6

•

1 4(2k2-1)+12+ 9 2k2-1

≤1，
當且僅當k=

5

2

時取等號，∴△OPQ面積的最大值為1．…．（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關鍵．