Question

已知經過拋物線C：x²=2py焦點F的直線l：y=kx+1與拋物線C交于A、B兩點，若存在一定點D（0，b），使得無論AB怎樣運動，總有直線AD的斜率與BD的斜率互為相反數．
（Ⅰ）求p與b的值；
（Ⅱ）對于橢圓C'：

x2

5

+y²=1，經過它左焦點F′的直線l′與橢圓C′交于A′、B′兩點，是否存在定點D′，使得無論A′B′怎樣運動，都有∠A′D′F′=∠B′D'F′？若存在，求出D′坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知得F（0，1），從而得到p=2，直線y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得無論x₁、x₂怎樣變化，總有b=

x1x2

4

，由此能求出b=-1．
（II）要使∠A'D'F'=∠B'D'F'，則D'必在x軸上，把l'：y=k（x+2）代入

x2

5

+y2=1，得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0，由此利用韋達定理，結合已知條件推導出存在定點D′(-

5

2

，0)，使得∠A'D'F'=∠B'D'F'．

解答： 解：（I）∵直線l：y=kx+1經過拋物線C：x²=2py的焦點為F，
∴F（0，1），∴p=2，
直線y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵無論AB怎樣運動，直線AD的斜率與BD的斜率互為相反數，
∴無論x₁、x₂怎樣變化，總有

x12 4 -b

x1

+

x22 4 -b

x2

=0，即b=

x1x2

4

∵x₁x₂=-4，∴b=-1．
（II）直線l'垂直于x軸時，A'、B'兩點關于x軸對稱，
∵F'（-2，0），∴要使∠A'D'F'=∠B'D'F'，則D'必在x軸上，
設點D'（a.0），
直線l'不垂直于x軸時，設l'：y=k（x+2），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把l'：y=k（x+2）代入

x2

5

+y2=1，得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0，
∴x1+x2=

-20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

，
∵∠A'D'F'=∠B'D'F'，∴直線A'D'的斜率與B'D'的斜率互為相反數，
即

k(x1+2)

x1-a

+

k(x1+2)

x1-a

=0，
∴a=

2x1x2+2(x1+x2)

x1+x2+4

=

2× -20k2 1+5k2 +2× 20k2-5 1+5k2

-20k2 1+5k2 +4

=-

5

2

，
∵以上每步可逆，
∴存在定點D′(-

5

2

，0)，使得∠A'D'F'=∠B'D'F'．

點評：本題考查滿足圓錐曲線的參數的求法，考查使兩角相等的點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．