Question

如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（t＞0）左側(cè)的圖形的面積為f（t）．
（1）求函數(shù)f（t）的解析式；
（2）畫出y=f（t）的函數(shù)圖象，并求y=f（t）的值域．
（注：畫圖時標明關(guān)鍵點的坐標．）

Answer 1

分析：（1）在求f（t）的解析式時，關(guān)鍵是要根據(jù)圖象，對t的取值進行恰當(dāng)?shù)姆诸悾�然后進行討論；
（2）給出分段函數(shù)的解析式后，再根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象，由解析式求出值域．

解答：解：（1）①當(dāng)0＜t≤1時，
如圖，設(shè)直線x=t與△OAB分別交于C、D兩點，則|OC|=t，
又

|CD|

|OC|

=

3

，∴|CD|=

3

t，∴f（t）=

1

2

|OC|•|CD|=

1

2

t•

3

t=

3

2

t2．
②當(dāng)1＜t≤2時，
如圖，設(shè)直線x=t與△OAB分別交于M、N兩點，則|AN|=2-t，

|MN|

|AN|

=

3

，∴|MN|=

3

（2-t），
∴f（t）=

1

2

•2•

3

-

1

2

•|AN|•|MN|=

3

-

3

2

（2-t）²=-

3

2

t2+2

3

t-

3

；
③當(dāng)t＞2時，f（t）=

3

．
綜上所述f（t）=

3 2 t2，0＜t≤1 - 3 2 t2+2 3 t- 3 ，1＜t≤2 3 ，t＞2

．
（2）f（t）=

3 2 t2，0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2 3 ，t＞2

．圖象如圖所示：
當(dāng)0＜t≤1時，0＜f（t）≤

3

2

；當(dāng)1＜t≤2時，

3

2

＜f（t）≤

3

；當(dāng)t＞2時，f（t）=

3

．所以f（t）的值域為（0，

3

]．

點評：分段函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是借助于幾個不同的表達式來表示的，處理分段函數(shù)的問題時，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個區(qū)間段，從而選相應(yīng)的關(guān)系式．對于分段函數(shù)，注意處理好各段的端點．